Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 2 \cdot 1)$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 10 - (- 2 \cdot 1)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 10 - - 2$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 10 + 2$

Этап 2.2.2

Добавим $- 10$ и $2$ .

$- 8$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{8}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.1.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{- 1}{4}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.4

Умножим $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 1 (\frac{1}{8}) \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.5.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.5.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Этап 7.7

Умножим $- \frac{1}{8} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - 5 (\frac{1}{8}) \end{array}]$

Этап 7.7.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{8}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & \frac{- 5}{8} \end{array}]$

Этап 7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{5}{8} \end{array}]$